4. Przykłady dowodów w matematyce

źródło:
Nowa Era. MATeMAtyka 4. Podręcznik do matematyki dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Klasa 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska. Wydanie I

4.1. Dowody w algebrze (1)

1.bid: ne3063

id: ne3063

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

2.id: ne3064

id: ne3064

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

3.bid: ne3065

id: ne3065

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

4.bid: ne3066

id: ne3066

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

5.bid: ne3067

id: ne3067

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

6.bid: ne3068

id: ne3068

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

7.bid: ne3069

id: ne3069

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

8.bid: ne3070

id: ne3070

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

4.2. Dowody w algebrze (2)

1.bid: ne3076

id: ne3076

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

2.cid: ne3077

id: ne3077

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

3.id: ne5027

id: ne5027

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

znaczenie deltyid: zd0109

kąty w stereometriiid: zd0141

nazewnictwo bryłid: zd0142

pola powierzchni i objętości bryłid: zd0143

4.id: ne5028

id: ne5028

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

kąty w stereometriiid: zd0141

nazewnictwo bryłid: zd0142

pola powierzchni i objętości bryłid: zd0143

5.aid: ne3078

id: ne3078

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

5.cid: ne3079

id: ne3079

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

6.bid: ne3080

id: ne3080

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

7.bid: ne3081

id: ne3081

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

8.aid: ne3082

id: ne3082

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

8.bid: ne3083

id: ne3083

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

9.id: ne3084

id: ne3084

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

4.3. Dowody w geometrii (1)

1.bid: ne3090

id: ne3090

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

2.bid: ne3091

id: ne3091

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.bid: ne3092

id: ne3092

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.bid: ne3093

id: ne3093

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne5033

id: ne5033

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

zrozumieć implikacjęid: zd0093

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3094

id: ne3094

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

7.id: ne3095

id: ne3095

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

8.id: ne3096

id: ne3096

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

9.id: ne5032

id: ne5032

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

zrozumieć implikacjęid: zd0093

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

10.id: ne3098

id: ne3098

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

11.id: ne5034

id: ne5034

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

zrozumieć implikacjęid: zd0093

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

12.id: ne3099

id: ne3099

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

okrąg i czworokątyid: zd0126

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

4.4. Dowody w geometrii (2)

1.id: ne3101

id: ne3101

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

2.id: ne3103

id: ne3103

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

3.id: ne3104

id: ne3104

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

4.cdid: ne3105

id: ne3105

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

5.id: ne3106

id: ne3106

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

6.id: ne5035

id: ne5035

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

zrozumieć implikacjęid: zd0093

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

7.id: ne5036

id: ne5036

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

zrozumieć implikacjęid: zd0093

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133