4. Przykłady dowodów w matematyce

źródło:
Nowa Era. MATeMAtyka 3. Podręcznik do matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych. Klasa 3. Zakres podstawowy. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska. Wydanie 2014

4.1. Dowody w algebrze (1)

1.id: ne3071

id: ne3071

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

2.id: ne3064

id: ne3064

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

3.id: ne3065

id: ne3065

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

4.bid: ne3072

id: ne3072

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

5.bid: ne3068

id: ne3068

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

6.bid: ne3069

id: ne3069

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

7.bid: ne3067

id: ne3067

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

1.id: ne3073

id: ne3073

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

2.id: ne3074

id: ne3074

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

3.id: ne3075

id: ne3075

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

4.2. Dowody w algebrze (2)

1.cid: ne3085

id: ne3085

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

2.cid: ne3086

id: ne3086

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

3.id: ne3087

id: ne3087

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

4.id: ne3078

id: ne3078

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

5.bid: ne3081

id: ne3081

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

6.id: ne3082

id: ne3082

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

1.bid: ne3088

id: ne3088

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

2.id: ne3089

id: ne3089

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

metoda podstawienia (zmienna pomocnicza t)id: zd0044

4.3. Dowody w geometrii (1)

1.bid: ne3090

id: ne3090

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

2.bid: ne3091

id: ne3091

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.bid: ne3092

id: ne3092

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.bid: ne3093

id: ne3093

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne3094

id: ne3094

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3095

id: ne3095

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

7.id: ne3096

id: ne3096

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

8.id: ne3097

id: ne3097

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

1.id: ne3100

id: ne3100

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

4.4. Dowody w geometrii (2)

1.abid: ne3102

id: ne3102

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

2.id: ne3103

id: ne3103

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

3.id: ne3104

id: ne3104

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

4.cdid: ne3105

id: ne3105

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

1.id: ne3101

id: ne3101

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształcenie tezyid: zd0001

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139