3. Ciągi

źródło:
Nowa Era. MATeMAtyka 3. Podręcznik do matematyki dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Klasa 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha, Dorota Ponczek, Jolanta Wesołowska. Wydanie I

3.1. Pojęcie ciągu

1.id: ne3107

id: ne3107

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

2.fid: ne3108

id: ne3108

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.cid: ne4427

id: ne4427

znaki dymne powiązane z zadaniem:

przybliżenia liczbid: zd0104

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

4.cid: ne3109

id: ne3109

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.2. Sposoby określania ciągu

1.hid: ne3111

id: ne3111

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

2.did: ne3113

id: ne3113

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.bdefid: ne3122

id: ne3122

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

4.dfid: ne3114

id: ne3114

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

5.cid: ne3115

id: ne3115

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

6.id: ne4430

id: ne4430

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

rozwiązywanie równań wymiernych (metoda algebraiczna)id: zd0068

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

7.id: ne4431

id: ne4431

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

rozwiązywanie nierówności wielomianowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0062

rozwiązywanie nierówności wymiernych (metoda graficzna)id: zd0069

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

8.cid: ne3117

id: ne3117

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

9.bid: ne3116

id: ne3116

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

10.id: ne3118

id: ne3118

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

11.id: ne3119

id: ne3119

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

12.id: ne3121

id: ne3121

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

13.id: ne3120

id: ne3120

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

14.id: ne4432

id: ne4432

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie układów równań liniowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0050

funkcja wielomianowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0108

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.3. Ciągi monotoniczne (1)

1.hid: ne3123

id: ne3123

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

znaczenie deltyid: zd0109

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

2.bdid: ne4436

id: ne4436

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

więcej niż jedna wartość bezwzględna obok siebieid: zd0053

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

rozwiązywanie nierówności kwadratowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0056

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

funkcja wielomianowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0108

rozwiązywanie nierówności wielomianowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0062

funkcja wymierna, funkcja homograficzna, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0111

rozwiązywanie nierówności wymiernych (metoda graficzna)id: zd0069

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.fhid: ne4437

id: ne4437

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

4.dfid: ne3125

id: ne3125

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

5.cid: ne3126

id: ne3126

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

6.id: ne3127

id: ne3127

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

7.cid: ne3128

id: ne3128

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

8.bid: ne3129

id: ne3129

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

9.cid: ne3130

id: ne3130

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

dla jakich wartości parametru funkcja (cośtam, cośtam)id: zd0036

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

10.id: ne3131

id: ne3131

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dzielniki, dzielniki pierwsze, rozkład na czynniki, cechy podzielności, NWD, NWW, dzielenie z resztą, zapis symbolicznyid: zd0099

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

dla jakich wartości parametru funkcja (cośtam, cośtam)id: zd0036

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

szkicowanie paraboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0057

funkcja wymierna, funkcja homograficzna, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0111

szkicowanie hiperboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0070

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

11.bid: ne3132

id: ne3132

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

szkicowanie paraboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0057

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

12.id: ne4438

id: ne4438

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie wartości bezwzględnej w układzie współrzędnychid: zd0049

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

13.bid: ne3133

id: ne3133

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

rozwiązywanie równań liniowych (metoda algebraiczna)id: zd0046

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

zrozumieć wartość bezwględną - rozwiązywanie równań i nierówności (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0052

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

szkicowanie paraboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0057

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.4. Ciągi określone rekurencyjnie

1.deid: ne3134

id: ne3134

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

2.did: ne3135

id: ne3135

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.cid: ne3140

id: ne3140

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

4.bid: ne4442

id: ne4442

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

5.id: ne4443

id: ne4443

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

6.bid: ne3137

id: ne3137

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

7.did: ne4444

id: ne4444

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.5. Ciągi monotoniczne (2)

1.id: ne3141

id: ne3141

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja wymierna, funkcja homograficzna, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0111

szkicowanie hiperboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0070

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

2.id: ne4446

id: ne4446

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.id: ne4447

id: ne4447

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

dzielenie poprzez znalezienie w liczniku wielokrotności mianownikaid: zd0010

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

4.id: ne4448

id: ne4448

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

szkicowanie paraboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0057

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

5.id: ne4449

id: ne4449

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

6.bid: ne3144

id: ne3144

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych (metoda graficzna)id: zd0072

szkicowanie sin, cos, tg, ctg w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, symetryczność wykresówid: zd0073

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

7.id: ne4450

id: ne4450

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

szkicowanie sin, cos, tg, ctg w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, symetryczność wykresówid: zd0073

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

8.bid: ne4451

id: ne4451

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

9.cid: ne3147

id: ne3147

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

funkcja wymierna, funkcja homograficzna, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0111

szkicowanie hiperboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0070

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

3.6. Ciąg arytmetyczny (1)

1.did: ne3148

id: ne3148

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

2.did: ne3149

id: ne3149

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

3.cid: ne4452

id: ne4452

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

4.bid: ne3150

id: ne3150

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

5.bid: ne3151

id: ne3151

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

6.id: ne3152

id: ne3152

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

7.cid: ne3153

id: ne3153

znaki dymne powiązane z zadaniem:

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

8.id: ne4453

id: ne4453

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie układów równań liniowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0050

rozwiązywanie układów równań liniowych, układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny - metoda wyznacznikówid: zd0106

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

9.bid: ne4454

id: ne4454

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie układów równań liniowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0050

rozwiązywanie układów równań liniowych, układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny - metoda wyznacznikówid: zd0106

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

10.id: ne4455

id: ne4455

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie układów równań liniowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0050

rozwiązywanie układów równań liniowych, układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny - metoda wyznacznikówid: zd0106

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

11.id: ne4456

id: ne4456

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań wielomianowych (metoda algebraiczna)id: zd0061

dzielenie wielomianów schematem Horneraid: zd0065

rozkład wielomianu na czynniki (postać iloczynową) metodą zgadywania pierwiastkówid: zd0067

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

12.id: ne4457

id: ne4457

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

13.id: ne4458

id: ne4458

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja wielomianowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0108

rozwiązywanie równań wielomianowych (metoda algebraiczna)id: zd0061

dzielenie wielomianów schematem Horneraid: zd0065

rozkład wielomianu na czynniki (postać iloczynową) metodą grupowania wyrazów / wyłączania wspólnego czynnika przed nawiasid: zd0066

rozkład wielomianu na czynniki (postać iloczynową) metodą zgadywania pierwiastkówid: zd0067

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

3.7. Ciąg arytmetyczny (2)

1.id: ne3159

id: ne3159

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

2.id: ne4462

id: ne4462

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

funkcja wielomianowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0108

funkcja wymierna, funkcja homograficzna, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0111

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

3.cid: ne3164

id: ne3164

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

4.cid: ne4463

id: ne4463

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

5.cid: ne4464

id: ne4464

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

6.bid: ne3157

id: ne3157

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

monotoniczność funkcji (rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca, nierosnąca)id: zd0024

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

funkcja wielomianowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0108

rozwiązywanie nierówności wielomianowych (metoda algebraiczna i graficzna)id: zd0062

szkicowanie wielomianu w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0063

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

7.bid: ne4465

id: ne4465

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

8.bid: ne3163

id: ne3163

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

9.bid: ne3161

id: ne3161

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

10.id: ne3162

id: ne3162

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

11.bid: ne4466

id: ne4466

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

12.bid: ne3166

id: ne3166

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wzory skróconego mnożenia (sześciany)id: zd0007

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

dla jakich wartości parametru funkcja (cośtam, cośtam)id: zd0036

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

3.8. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

1.cid: ne4474

id: ne4474

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

2.cid: ne3168

id: ne3168

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

3.cid: ne4475

id: ne4475

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

4.id: ne4476

id: ne4476

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

5.bid: ne3170

id: ne3170

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

5.cid: ne4477

id: ne4477

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

6.cid: ne4478

id: ne4478

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

7.bid: ne3171

id: ne3171

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

8.id: ne4479

id: ne4479

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

9.bid: ne4480

id: ne4480

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

10.cid: ne3174

id: ne3174

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

11.cid: ne3175

id: ne3175

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

12.bid: ne3176

id: ne3176

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja liniowa, postać ogólna i iloczynowaid: zd0105

szkicowanie prostej w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0048

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

12.did: ne4481

id: ne4481

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

3.9. Ciąg geometryczny (1)

1.fid: ne3177

id: ne3177

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

2.bid: ne3178

id: ne3178

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.eid: ne3179

id: ne3179

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

4.bfid: ne4490

id: ne4490

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

5.bcid: ne3181

id: ne3181

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

6.id: ne4491

id: ne4491

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

3.10. Ciąg geometryczny (2)

1.adid: ne4495

id: ne4495

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

2.bid: ne3185

id: ne3185

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.adid: ne4496

id: ne4496

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.eid: ne3184

id: ne3184

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

4.id: ne3186

id: ne3186

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

5.id: ne3187

id: ne3187

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

6.id: ne3189

id: ne3189

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.11. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

1.cid: ne3190

id: ne3190

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

2.cdid: ne4499

id: ne4499

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.id: ne3194

id: ne3194

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

4.id: ne4500

id: ne4500

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

5.eid: ne4501

id: ne4501

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

6.cid: ne3191

id: ne3191

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

7.bid: ne4502

id: ne4502

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

8.id: ne3193

id: ne3193

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

9.bid: ne4503

id: ne4503

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

10.id: ne4504

id: ne4504

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

11.id: ne4505

id: ne4505

znaki dymne powiązane z zadaniem:

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

12.id: ne4506

id: ne4506

znaki dymne powiązane z zadaniem:

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

rozwiązywanie równań wymiernych (metoda algebraiczna)id: zd0068

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

13.id: ne4507

id: ne4507

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

14.id: ne4508

id: ne4508

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

15.id: ne4509

id: ne4509

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

16.id: ne4510

id: ne4510

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

rozwiązywanie równań wielomianowych (metoda algebraiczna)id: zd0061

rozkład wielomianu na czynniki (postać iloczynową) metodą grupowania wyrazów / wyłączania wspólnego czynnika przed nawiasid: zd0066

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

17. (pierwszy przykład)id: ne3198

id: ne3198

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

18. (drugi przykład)id: ne3198

id: ne3198

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

19.id: ne4511

id: ne4511

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.12. Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne – zadania

1.id: ne3200

id: ne3200

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

2.id: ne4516

id: ne4516

znaki dymne powiązane z zadaniem:

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

3.id: ne4517

id: ne4517

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

4.id: ne3201

id: ne3201

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

5.id: ne3202

id: ne3202

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

6.id: ne3203

id: ne3203

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

7.bid: ne3207

id: ne3207

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

8.aid: ne4518

id: ne4518

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

8.bid: ne4519

id: ne4519

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

9.aid: ne3204

id: ne3204

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

liczenie potęg i pierwiastków, działania na potęgach i pierwiastkachid: zd0016

co to jest ciąg? wykres, wzór ogólny i rekurencyjny, monotonicznośćid: zd0113

ciąg arytmetyczny - wzoryid: zd0084

ciąg arytmetyczny - liczymy kamienieid: zd0085

ciąg arytmetyczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0086

ciąg arytmetyczny a funkcja liniowaid: zd0087

ciąg geometryczny - wzory id: zd0088

ciąg geometryczny - suma n wyrazów ciąguid: zd0089

ciąg geometryczny a funkcja wykładniczaid: zd0090

9.bid: ne4520

id: ne4520

znaki dymne powiązane z zadaniem: