6. Planimetria

źródło:
Nowa Era. MATeMAtyka 2. Podręcznik do matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych. Klasa 2. Zakres rozszerzony. Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha. Wydanie 2015

6.1. Długość okręgu i pole koła

1.id: ne3441

id: ne3441

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

2.id: ne3442

id: ne3442

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

3.id: ne3443

id: ne3443

znaki dymne powiązane z zadaniem:

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

4.id: ne3445

id: ne3445

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

podstawy szybkiego liczenia: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenieid: zd0005

działania na liczbach - spojrzenie globalneid: zd0015

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

6.2. Kąty w okręgu

1.did: ne3465

id: ne3465

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

2.did: ne3466

id: ne3466

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

3.cid: ne3467

id: ne3467

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

4.cid: ne3468

id: ne3468

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

5.bcid: ne3469

id: ne3469

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

6.bcid: ne3470

id: ne3470

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

7.bid: ne3471

id: ne3471

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

8.id: ne3472

id: ne3472

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

9.cid: ne3473

id: ne3473

znaki dymne powiązane z zadaniem:

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

10.id: ne3474

id: ne3474

znaki dymne powiązane z zadaniem:

zgadywanie postaci ilocznynowej, wzory Vieteaid: zd0059

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

11.bcid: ne3475

id: ne3475

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

12.id: ne3476

id: ne3476

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

13.id: ne3477

id: ne3477

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

Okrąg opisany na wielokącie (wielokąt wpisany w okrąg)

1.id: ne3496

id: ne3496

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

2.id: ne3497

id: ne3497

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

3.id: ne3498

id: ne3498

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

4.deid: ne3499

id: ne3499

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

5.id: ne3500

id: ne3500

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

6.id: ne3501

id: ne3501

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

7.id: ne3502

id: ne3502

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

6.3. Okrąg opisany na trójkącie

1.id: ne3503

id: ne3503

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

2.id: ne3504

id: ne3504

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

3.id: ne3482

id: ne3482

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

4.cid: ne3505

id: ne3505

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

5.id: ne3506

id: ne3506

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

6.id: ne3485

id: ne3485

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

7.id: ne3487

id: ne3487

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134

Okrąg wpisany w wielokąt (wielokąt opisany na okręgu)

1.id: ne3507

id: ne3507

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wartość bezwzględna (moduł) z liczbyid: zd0098

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

2.id: ne3508

id: ne3508

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.id: ne3509

id: ne3509

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.id: ne3510

id: ne3510

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne3511

id: ne3511

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3512

id: ne3512

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

7.id: ne3513

id: ne3513

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.4. Okrąg wpisany w trójkąt

1.id: ne3569

id: ne3569

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

2.bid: ne3516

id: ne3516

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.id: ne3521

id: ne3521

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.id: ne3522

id: ne3522

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne3514

id: ne3514

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3570

id: ne3570

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i trójkątyid: zd0117

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

7.id: ne3571

id: ne3571

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

8.id: ne3572

id: ne3572

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

9.id: ne3523

id: ne3523

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i trójkątyid: zd0117

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.5. Czworokąty wypukłe

1.id: ne3573

id: ne3573

2.id: ne3574

id: ne3574

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.cid: ne3575

id: ne3575

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.id: ne3576

id: ne3576

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne3577

id: ne3577

znaki dymne powiązane z zadaniem:

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3578

id: ne3578

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

7.id: ne3579

id: ne3579

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

8.id: ne3580

id: ne3580

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

9.id: ne3581

id: ne3581

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.6. Okrąg opisany na czworokącie

1.cid: ne3582

id: ne3582

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

2.bid: ne3583

id: ne3583

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

3.cid: ne3530

id: ne3530

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

4.id: ne3584

id: ne3584

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

5.bid: ne3532

id: ne3532

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

6.id: ne3585

id: ne3585

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

okrąg i czworokątyid: zd0126

7.id: ne3533

id: ne3533

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

8.bid: ne3535

id: ne3535

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

9.id: ne3536

id: ne3536

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

10.id: ne3537

id: ne3537

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

11.id: ne3538

id: ne3538

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

12.id: ne3539

id: ne3539

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

wzory redukcyjneid: zd0076

okrąg i czworokątyid: zd0126

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.7. Okrąg wpisany w czworokąt

1.bid: ne3586

id: ne3586

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

2.id: ne3543

id: ne3543

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

3.id: ne3541

id: ne3541

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

4.id: ne3542

id: ne3542

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.id: ne3546

id: ne3546

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.id: ne3547

id: ne3547

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

7.id: ne3548

id: ne3548

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

8.id: ne3549

id: ne3549

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

9.id: ne3550

id: ne3550

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

10.id: ne3587

id: ne3587

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

11.id: ne3552

id: ne3552

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

12.aid: ne3588

id: ne3588

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

12.bid: ne3551

id: ne3551

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

okrąg i czworokątyid: zd0126

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

13.id: ne3589

id: ne3589

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

6.8. Twierdzenie sinusów

1.aid: ne3591

id: ne3591

znaki dymne powiązane z zadaniem:

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

1.bid: ne3590

id: ne3590

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

2.id: ne3592

id: ne3592

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

3.bid: ne3605

id: ne3605

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

prostopadłość i równoległość prostych w postaci kierunkowej i ogólnejid: zd0116

równanie okręgu, równanie prostej - przesunięcia o wektorid: zd0130

4.deid: ne3593

id: ne3593

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

przybliżenia liczbid: zd0104

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

5.bdfid: ne3594

id: ne3594

znaki dymne powiązane z zadaniem:

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

6.id: ne3595

id: ne3595

znaki dymne powiązane z zadaniem:

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

7.cdfid: ne3596

id: ne3596

znaki dymne powiązane z zadaniem:

przybliżenia liczbid: zd0104

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

8.bid: ne3597

id: ne3597

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

przybliżenia liczbid: zd0104

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

9.id: ne3598

id: ne3598

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

10.id: ne3606

id: ne3606

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

twierdzenie Talesa (+ twierdzenie odwrotne) i trójkąty podobneid: zd0132

prostopadłość i równoległość prostych w postaci kierunkowej i ogólnejid: zd0116

równanie okręgu, równanie prostej - przesunięcia o wektorid: zd0130

11.id: ne3601

id: ne3601

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

12.id: ne3607

id: ne3607

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

13.aid: ne3608

id: ne3608

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

13.bid: ne3599

id: ne3599

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

14.id: ne3600

id: ne3600

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

6.9. Twierdzenie cosinusów

1.bid: ne3609

id: ne3609

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, dzielenie sumy przez mianownikid: zd0008

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

2.did: ne3611

id: ne3611

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

3.id: ne3610

id: ne3610

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

4.did: ne3627

id: ne3627

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

pola trójkątówid: zd0125

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

5.bid: ne3615

id: ne3615

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

6.id: ne3616

id: ne3616

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pierwiastkowanie liczby podniesionej do kwadratuid: zd0013

proporcje, czyli mnożenie na skos?id: zd0043

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

7.id: ne3628

id: ne3628

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

pola trójkątówid: zd0125

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

8.id: ne3629

id: ne3629

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

pola trójkątówid: zd0125

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

9.id: ne3630

id: ne3630

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

pola trójkątówid: zd0125

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

10.id: ne3623

id: ne3623

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

pola trójkątówid: zd0125

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

6.10. Zagadnienia uzupełniające

1.id: ne3652

id: ne3652

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

2.id: ne3633

id: ne3633

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

3.id: ne3634

id: ne3634

znaki dymne powiązane z zadaniem:

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

4.deid: ne3653

id: ne3653

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: przekształć założenia i uzyskaj tezęid: zd0103

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

5.bfid: ne3654

id: ne3654

6.id: ne3655

id: ne3655

znaki dymne powiązane z zadaniem:

funkcja kwadratowa, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowaid: zd0107

szkicowanie paraboli w układzie współrzędnych, punkty charakterystyczne, znaczenie współczynnikówid: zd0057

Zestawy powtórzeniowe – Zestaw I

1.id: ne3685

id: ne3685

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

2.id: ne3657

id: ne3657

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

3.id: ne3658

id: ne3658

znaki dymne powiązane z zadaniem:

definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie i układzie współrzędnychid: zd0115

wartości funkcji trygonometrycznych w I ćwiartceid: zd0075

wzory trygonometryczne w trygonometriiid: zd0074

wzory redukcyjneid: zd0076

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

4.id: ne3659

id: ne3659

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

kąt środkowy, wpisany i dopisanyid: zd0135

5.id: ne3660

id: ne3660

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasaid: zd0134

6.id: ne3661

id: ne3661

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

7.id: ne3662

id: ne3662

znaki dymne powiązane z zadaniem:

dowodzenie twierdzeń: L=Pid: zd0002

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

8.id: ne3664

id: ne3664

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

9.id: ne3665

id: ne3665

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

rozwiązywanie równań kwadratowych (metoda algebraiczna)id: zd0055

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

10.id: ne3666

id: ne3666

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

11.id: ne3686

id: ne3686

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

Zestawy powtórzeniowe – Zestaw II

1.id: ne3687

id: ne3687

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

cechy przystawania i podobieństwa trójkątówid: zd0133

skala podobieństwa - długości, pola i objętościid: zd0139

2.id: ne3668

id: ne3668

znaki dymne powiązane z zadaniem:

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

3.id: ne3669

id: ne3669

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

4.id: ne3663

id: ne3663

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

5.id: ne3674

id: ne3674

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

szukanie wzoru skróconego mnożenia pod pierwiastkiemid: zd0014

okrąg i czworokątyid: zd0126

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

6.id: ne3675

id: ne3675

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

szukanie wzoru skróconego mnożenia pod pierwiastkiemid: zd0014

okrąg i czworokątyid: zd0126

7.id: ne3667

id: ne3667

znaki dymne powiązane z zadaniem:

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

8.id: ne3671

id: ne3671

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

9.id: ne3672

id: ne3672

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

10.id: ne3673

id: ne3673

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

szukanie wzoru skróconego mnożenia pod pierwiastkiemid: zd0014

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

11.id: ne3676

id: ne3676

znaki dymne powiązane z zadaniem:

wzory skróconego mnożenia (kwadraty)id: zd0006

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

szukanie wzoru skróconego mnożenia pod pierwiastkiemid: zd0014

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

niezwykłości trójkąta prostokątnegoid: zd0127

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

Zestawy powtórzeniowe – Zestaw III

1-2id: ne3691

id: ne3691

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

3-4id: ne3692

id: ne3692

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124

5-7id: ne3693

id: ne3693

znaki dymne powiązane z zadaniem:

usuwanie niewymierności z mianownikaid: zd0009

okrąg i koło, wycinki i odcinkiid: zd0100

okrąg i czworokątyid: zd0126

pola trójkątówid: zd0125

trójkąt równobocznyid: zd0101

kwadratid: zd0102

twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusówid: zd0124